微分法と導関数（復習）

社会情報学部カリキュラム

青山学院大学社会情報学部では，「社会数理入門」という科目で， 高校３年生水準の解析学を学習します． このページの内容は，社会数理入門の第１回の内容です． 高校２年生水準の数学を学習する必要のある人には， 「数学入門」という科目が用意されています．

微分係数

関数 $y=f\left(x\right)$ において，独立変数 $x$ が $x_0$ から $x_0+\Delta x$ に変化したとき，関数 $y=f\left(x\right)$ の値が $y_0$ から $y_0+\Delta y$ に変化したとします． このとき，独立変数 $x$ の増分 $\Delta x$ に対する，従属変数 $y$ の増分 $\Delta y$ の比 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ を， $x_0$ から $x_0+\Delta x$ の間の， $y=f\left(x\right)$ の平均変化率（average rate of change） といいます．

独立変数の増分 $\Delta x$ を 0 に近づけたときの， 平均変化率の極限値を，関数 $y=f\left(x\right)$ の， $x=x_0$ における微分係数（differential coefficient）と呼びます． 微分係数を $f^{\prime }\left(x_0\right)$ で表せば，

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$

となります．図からもわかるように，微分係数 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ は，関数 $y=f\left(x\right)$ のグラフの，点 $\left(x_0,y_0\right)$ における接線の傾きを表しています．微分係数を調べることにより， 関数 $y=f\left(x\right)$ の増減を調べることができます（後述）． 微分係数は必ず存在するとは限りませんが， ここではあまり深入りしないでおきます．

導関数

微分係数は関数の性質，特に増減を反映する重要な量ですが， 上で述べた定義に従えば， 各点ごとに極限操作によって求める必要があります． $x=x_0$ での微分係数を定義に従って求めても，他の点での微分係数はわかりません． この煩雑さを避けるための概念が導関数です．

関数 $y=f\left(x\right)$ の各点での微分係数 $f^{\prime }\left(x\right)$ はまた $x$ の関数となります． これを関数 $y=f\left(x\right)$ の導関数（derivative あるいは derived function） といいます． 関数 $f\left(x\right)$ から「導かれた」関数というニュアンスです． 導関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ は，場所（$x$） が決まると微分係数が決まるという対応関係です．

導関数を知ることができれば，各点ごとの微分係数は， その導関数に独立変数の値を代入することで求めることができます． たとえば， $f\left(x\right)=-2x^2+24x-12$ という関数の， $x=6$ での微分係数を知りたければ，この関数の導関数を求めて， $x=6$ を代入します．すぐ後で述べるように，この導関数は $f^{\prime }\left(x\right)=-4x+12$ ですので， $x=6$ での微分係数は $f^{\prime }\left(6\right)=-24+12=-12$ となります．

本来は， 各点ごとに定義に従って求められた微分係数の集合として， 導関数が決まるわけです． 微分係数を調べれば関数の増減はわかりますが， 各点ごとに微分係数を調べるのは途方もない話です． そこで，先に導関数を求めて， そこから微分係数を計算しようというわけです．

導関数を表す記号として，以下があります．

• ライプニッツの記号

$\frac{dy}{dx}$

$\frac{df}{dx}\left(x\right)$

• ラグランジュの記号

$y^{\prime }$

$f^{\prime }\left(x\right)$

• ニュートンの記号 （$y$ の上に点を打ちます）

$\stackrel{.}{y}$

• コーシーの記号

$Dy$

$Df$

$D_{x}y$

$D_{x}f$

関数$u=u\left(x\right)$， $v=v\left(x\right)$ の定数倍，和，差で表される関数の導関数は次のように計算できます． 関数 $f\left(x\right)$ の導関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ を計算するプロセスを微分法 （differentiation）と呼びます． $f\left(x\right)$ を「微分する（differentiate）」という表現もよく用いられます．

この式をぼんやり眺めていてはいけません． 数学の学習では，式をしっかりと「読む（解釈する）」ことが重要です． 抽象的なものは，解釈しなければ使えないのです．

最初の性質は， 「$k$ 倍された関数の導関数は， もとの（$k$ 倍する前の）導関数の $k$ 倍」 ということです． 次の性質は， 「関数の和（差）の導関数は，それぞれの導関数の和（差）」 ということです．

定数倍，和，差の微分法として示された性質を， 微分の線形性（linearity）と呼びます． 演算に関して和（差）と定数倍が保存されることを意味します．

多項式関数の導関数

単項式で表される関数 $x^n$ の導関数は，次のように計算できます．

単項式の微分法と，定数倍，和，差の公式を使えば， 一般の多項式関数の導関数を求めることができます．

[例]

$\frac{d}{dx}\left(x^4-2x^3+3x+2\right)$

[和と差の微分法により，]

$=\frac{d}{dx}\left(x^4\right)-\frac{d}{dx}\left(2x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(3x^1\right)+\frac{d}{dx}\left(2x^0\right)$

[$x^0=1$ であることに注意．定数倍の微分法により，]

$=\frac{d}{dx}\left(x^4\right)-2\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+3\frac{d}{dx}\left(x^1\right)+2\frac{d}{dx}\left(x^0\right)$

[単項式の微分法により，]

$=4x^3-2·3x^2+3·1·x^0+2·0·x^{-1}$

$=4x^3-6x^2+3$

導関数の計算において， 単項式の微分法と，微分の線形性（定数倍，和，差の微分法）が， どのように使われているかよく確かめて下さい． 数学の学習では，新しく学習することについては， 議論のステップをひとつずつ確かめることが重要です． 議論のステップが理解できたら， よく登場する議論については，ステップをとばしてもかまいません （いつものことだから正しい）．

多項式関数の導関数がどのように計算されるのか理解できたら， 問題演習では途中の計算を上のように詳しく書かなくてもいいです．

$\frac{d}{dx}\left(x^4-2x^3+3x+2\right)=4x^3-3·2x^2+3=4x^3-6x^2+3$

というように，一気に計算しましょう．

関数の増減

導関数の値，すなわち微分係数が接線の傾きであることから， 導関数の値の符号によって， もとの関数の増減の状況を知ることができます.

微分可能（differentiable）な関数とは，簡単には， 導関数を求めることができる関数のことです． もう少し厳密にいうと， 定義域の任意の点において微分係数 （平均変化率の極限）が存在するとき， その関数は微分可能であるといいます．

以下の例題で，関数の増減のようすを示す， 増減表の書き方を復習しておきましょう． 増減表をもとにグラフを描きます．

[例]

$y=x^3-3x$

の増減を調べる．導関数は，

$y^{\prime }=3x^2-3=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

である．

$x=\pm 1$

のとき，

$y^{\prime }=0$

となる．この関数の増減表は以下のようになる．

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$\infty$
$y^{\prime }$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$\infty$

増減表をもとにグラフを描くと，以下のようになる．

参考：この図は統計解析ソフトウェア R を用いて描きました． 以下のコードを実行します．

par(mar = c(1, 1, 1, 1))
curve(x^3 - 3*x, -2.5, 2.5,
  xlim=c(-3,3), ylim=c(-3,3),
  xlab="", ylab="", lwd=3, axes=F)
axis(1, pos = 0, at = -3:3)
axis(2, pos = 0, at = -3:3, las=2) 
abline(h=c(-2,2), v=c(-1,1), lty=3)
text(3.1,0,"x",pos=3, cex=1.5)
text(0.1,3,"y",pos=3, cex=1.5)

増減表を書く手順は理解できているでしょうか？ 自信のない人は以下の説明を読んでください．

ステップ１：導関数の値が 0 となる点を見つける（増減表の１行目）

導関数の値が 0，すなわち， $f^{\prime }\left(x\right)=0$ となる点 $x$ を見つけます． われわれは，導関数の値の符号によって， もとの関数の増減を調べようとしているのでした． まずは導関数の値が 0 となる点を見つけ， 次に，その他の点での符号を調べます．

上の例では，導関数

$y^{\prime }=3x^2-3=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

は，

$x=\pm 1$ のとき， $y^{\prime }=0$ となります．

導関数の値が 0 になる点がわかったら， その点を明示して増減表を以下のように書きます． 一番上の行が $x$， 次の行が $y^{\prime }$， 一番下の行が $y$ です．

これで，増減表の一番上の行は完成しました． この表では，関数の定義域が実数全体であること，すなわち， $-\infty$ から $\infty$ であることも示しています． これは書かなくてもかまいません．

ステップ２：導関数の符号を調べる（増減表の２行目）

導関数の値が 0 となる点はわかったので， その他の点での導関数の符号を調べます．

$x<-1$ では，導関数

$y^{\prime }=3x^2-3=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

の値は， $x-1<0$， $x+1<0$ となるので，正です．

$-1<x<+1$ では， $x-1<0$， $x+1>0$ となるので，導関数の値は負です．

$+1<x$ では， $x-1>0$， $x+1>0$ となるので，導関数の値は正です．

導関数の値が 0 となる前後で符号が変わっていますが， 必ずこのようになるわけではありません． それぞれの場合をちゃんと調べるようにしてください．

導関数の値の符号を増減表に書き入れると，以下のようになります． これで，増減表の１行目と２行目が完成しました．

ステップ３：関数の増減を示す（増減表の３行目）

上述した増減表の原理にしたがって，関数の増減を示します． 導関数の値の符号が正の範囲では上向きの矢印， 負の範囲では下向きの矢印を増減表に記入します． 導関数の値が 0 となる点については， $y$ の値を具体的に記入します．これで増減表は完成です． $x=\pm \infty$ の列は書かなくてもよいので，この列での $y$ の値は空欄のままでもかまいません．

極大・極小

実数全体ではなく， 特定の実数範囲（「区間」と呼びます）で関数が定義されるとき， その範囲（区間）は下限および上限となる実数 $a$， $b$ によって定められます．これら実数を区間の端点（endpoint）と呼びます． 端点を含む区間のことを閉区間（closed interval）と呼び， $\left[a,b\right]$ と表します． 端点を含まない区間のことを開区間（open interval）と呼び， $\left(a,b\right)$ と表します．

関数 $f\left(x\right)$ の定義域が閉区間 $\left[a,b\right]$ であるとき， 独立変数 $x$ がとりうる値は $a\le x\le b$ であり，端点 $a$ および $b$ は定義域に含まれます． すなわち， $f\left(a\right)$ および $f\left(b\right)$ は定義されます． （注意：高校数学までの不等号 $\leqq$ および $\geqq$ のかわりに， $\le$ および $\ge$ を用います．） 開区間では， 独立変数 $x$ がとりうる値は $a<x<b$ であり， 端点は定義域に含まれません． すなわち， $f\left(a\right)$ および $f\left(b\right)$ は定義されません．

開区間 $\left(a,b\right)$ あるいは閉区間 $\left[a,b\right]$ を定義域とする連続関数 $f\left(x\right)$ が，定義域の内点 $x_0$ （定義域である区間の端点を除く， $a<x_0<b$ という範囲にある実数） で極大（relative maximum あるいは local maximum） になるとは， $x_0$ に十分近い $x$ について $f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$ が成り立つことです． このとき， $x_0$ を極大点（maximal point）， $x_0$ での関数値 $f\left(x_0\right)$ を極大値（maximal value）と呼びます．

この定義での， $x_0$ に「十分近い」という意味がわかりにくいかもしれません． 十分近いという範囲が初めから決まっているのではなく， むしろ， $f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$ となるように， 「十分に近い」範囲を選ぶことができれば， 関数はその点 $x_0$ で極大となる， と考えた方がわかりやすいかもしれません． 極大点は，その近辺でグラフの高さが最も高くなる位置です． 定義域全体で最も高くなる必要はありません （そうであってもかまいませんが）． 「この近辺ではサッカーが一番上手な子」のようなイメージですね． もっと上手な子はいるかもしれませんが， そういう子が入らないように「この近辺」を定めることができればよいのです．

極大と同様に， $x_0$ に近い $x$ について $f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)$ が成り立つとき， $f\left(x\right)$ は $x=x_0$ で極小 （relative minimum あるいは local minimum）になるといい， $x_0$ を極小点（minimal point）， 関数値 $f\left(x_0\right)$ を極小値（minimal value）と呼びます．

極大点と極小点をあわせて 極値点（extreme point）， 極大値と極小値をあわせて 極値（extreme value）といいます．

定義域が閉区間 $\left[a,b\right]$ であるとき，端点 $x_0=a,b$ の近くで $f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$ あるいは $f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)$ が成り立っても， $f\left(x\right)$ は $x=x_0$ で極値をとるとは いわない ことに注意してください（図参照）． 「この近辺ではサッカーが一番上手な子」というとき， その子は「近辺」の境界に住んでいてはいけないのですね．

関数の定義域が開区間の時は， 区間の両端 $x_0=a,b$ では関数の値が定義されないので， その点で極値をとるというのかどうか悩むことはありません．

関数の定義域に含まれる点 $x_0$ において微分係数 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ が存在するとき，関数 $f\left(x\right)$ は $x_0$ で微分可能である（differentiable）といいます． 極値点で関数が微分可能ならば， その点での微分係数は 0 となります． すなわち，

という定理が成立します．

この定理の逆は成り立たないので注意してください． $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ であっても， $x=x_0$ が極値点になるとは限りません． たとえば， $f\left(x\right)=x^3$ は， $x=0$ において $f^{\prime }\left(0\right)=0$ となりますが，この点で極値を持ちません（グラフを描いてみましょう）．

この定理から，微分可能な関数 $y=f\left(x\right)$ の閉区間 $\left[a,b\right]$ での最大値を求めるには， 導関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ の零点（導関数の値が 0 となる点）と， 区間の端点 $a$，$b$ での値をすべて調べ， そのうち一番大きいものをとればよいことがわかります （最小値の調べ方も同様です）．

[例]

関数 $f\left(x\right)=x^3-6x$ の，区間 $-2\le x\le 3$ での最大値と最小値を求める．

導関数

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6=3\left(x^2-2\right)$

の零点

$x=\pm \sqrt{2}$

と端点

$x=-2,3$

での関数値

$f\left(\pm \sqrt{2}\right)=\mp 4\sqrt{2}$， $f\left(-2\right)=4$， $f\left(3\right)=9$

を比較して，最小値は，

$f\left(\sqrt{2}\right)=-4\sqrt{2}$，

最大値は，

$f\left(3\right)=9$

である．