ランダムウォークの学習

2.1　結果の予想

実物のコインによるランダムウォークを実行する前に，結果の予想を行います．

実習で行うことを説明します． まだコイン投げを始めないでください． コインを投げて，表が出たらプラス方向に，裏が出たらマイナス方向に 1 移動します． これを１次元のランダムウォークと呼びます． 「１次元」ですから，本来はA列だけで上下に移動するのですが， 移動の軌跡を見るために，右方向にも１列ずつ移動することにします． したがって，表が出たら右上のセルに，裏が出たら右下のセルに移動します． 移動先のセルに半角数字の「1」を入力してください．これを100試行繰り返します．

ノート課題１：コインを投げ始める前に，必ずこの課題を行ってください．

1. 100試行のランダムウォークの軌跡はどのようになるでしょうか？
   • ノートの１ページで，線分を横方向に引きます．あるいは， ノート用 Word ファイル （randomwalk_note.docx）をダウンロードして印刷し． 「ノート課題（１）」というページを開いてください．線分が引いてあります． この線分がエクセルの20行目に引いた黄色い直線だと考えてください．
   • 数字の１が並んでゆく軌跡を曲線で描いてください．
   • 曲線は直線の左端上から始まります． ランダムウォークの終わりには，曲線の終端が直線上にあるとは限りません．
   • この予想に「正解」はありません．予測とぴったり一致した結果にはなりません． どのような軌跡を描くか，典型的なイメージを表現してください．
2. 表（あるいは裏）の出る割合は，どれぐらいになるでしょうか？ CoursePower で回答してください． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）． 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします．
3. プラス側にいた時間（あるいは，マイナス側にいた時間）の割合は， どれくらいになるでしょうか？ エクセルの20行目より上側（あるいは，下側）に， どれだけの数の「1」が並ぶかを考えます． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）， 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします． CoursePower で回答してください．

2.2　ランダムウォークの実行（実物コイン使用）

ほとんどの人は，エクセルの第１行によりも上に移動することにはならないと思います． しかし，もしそうなった場合には，上に行を挿入して続けてください． それでは，始めてください． B列が第１試行であり，CW列まで進むと100試行になります．

ランダムウォークが終わったとき（CW列に到達したとき）， 数直線上では必ず偶数の位置で終了します． 行の挿入を行っていなければ，20行目が ±0 であり，必ず偶数行で終わります． もしそうなっていなければどこかに入力ミスがあります． 探して修正してください．

CX列で，SUM関数を使って行方向（横方向）の合計を計算してください． 入力されている「1」を横方向に合計することで， その行に到達した回数がわかります．たとえば，CX20 セルでは，

= SUM(B20:CW20)

と入力します．A20セルに入力されている「1」をカウントしないように注意してください． 計算結果が ## と表示されてしまうかもしれません． これは列幅が狭くて数値が表示されていないだけなので，CX列だけ列幅を広げてください．

ここで一度，ファイルに適当な名前を付けて保存してください．

2.3　結果の検討

ランダムウォークを実行した結果を検討します． 予想との比較を行います．

1. 100試行のランダムウォークの軌跡は，予想とあっていましたか？ もちろん，ぴったり一致するはずはありませんが， 予想で描いた曲線と，実際の曲線で，以下の点について一致が見られるかどうか検討してください．
   • 軌跡が20行目（±0 の地点）を横切った回数を， 予想と実際で比較してください． この回数はそれぞれ数えてください． 第20行に到達した回数ではなく，横切った回数であることに注意してください． たとえば，上から降りてきて20行目に到達し，また上に戻っていった場合は，カウントしません． プラス領域からマイナス領域へ，あるいは， マイナス領域からプラス領域へ移動した回数をカウントします．
   • 軌跡が ±0 の地点を横切ったタイミングや，グラフの周期性について， 予想と実際を比較してみましょう．
2. 表（あるいは裏）の出る割合は，予想とあっていましたか？ これはCW列での最終的な位置からわかります． たとえば，最終的な位置が +4（行を挿入していなければ第16行）だったすると， これは表の方が裏より４回多く出たということを意味します． 表と裏をあわせて100回ですから，表が52回，裏が48回となります． よって，表裏の比率は 52:48 となります． 小学校４年生で学習する「和差算」ですね．
3. プラス側にいた時間（あるいは，マイナス側にいた時間）の割合は， 予想とあっていましたか？ これはCX列で計算した行方向の合計からわかります． 上図では，プラス側にいた時間は， 5 + 9 + 14 + 17 + 13 = 58 で，マイナス側にいた時間は 10 + 10 + 7 + 4 + 1 = 32 です．よって，時間比率は 58:32 となります．

ノート課題２： コイン投げのランダムウォーク実験からわかったこと，気がついたこと，疑問に思ったことをまとめましょう． CoursePower で「ノート課題２」を行ってください． 必ずこれを行ってから次に進むこと．

3.1　結果の予想

自分でコインを投げずにエクセルに投げてもらうということ以外は， コインの実物を用いたときと同じランダムウォークの実験を行います． ここでも実験の前に結果の予想をしましょう．これがノート課題３になります． 一度実験を経験しているので，最初とは異なった予想になる人が多いと思います． （まったく同じ予想ではいけないということはありません．）

ノート課題３：実験を始める前に，必ずこの課題を行ってください．

1. 100試行のランダムウォークの軌跡はどのようになるでしょうか？
   • ノートの１ページで，線分を横方向に引きます．あるいは， ノート用 Word ファイル （randomwalk_note.docx）をダウンロードして印刷し． 「ノート課題（３）」というページを開いてください．線分が引いてあります． この線分がエクセルの20行目に引いた黄色い直線だと考えてください．
   • 数字の１が並んでゆく軌跡を曲線で描いてください．
   • 曲線は直線の左端上から始まります． ランダムウォークの終わりには，曲線の終端が直線上にあるとは限りません．
   • この予想に「正解」はありません．予測とぴったり一致した結果にはなりません． どのような軌跡を描くか，典型的なイメージを表現してください．
2. 表（あるいは裏）の出る割合は，どれぐらいになるでしょうか？ CoursePower で回答してください． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）． 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします．
3. プラス側にいた時間（あるいは，マイナス側にいた時間）の割合は， どれくらいになるでしょうか？ エクセルの20行目より上側（あるいは，下側）に， どれだけの数の「1」が並ぶかを考えます． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）， 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします． CoursePower で回答してください．

3.2　ランダムウォークの実行（乱数使用）

コインの実物で行ったランダムウォークのワークシート名を「RW（コイン）」に変えましょう． シート名をダブルクリックすれば名前を変更できます 新たに２つワークシートを追加します．

追加した２つのワークシート名を「乱数」と「RW（乱数）」にしましょう，

「RW（乱数）」ワークシートは， 実物のコインを使用したランダムウォークのワークシート「RW（コイン）」と同じように， 方眼紙状にして20行目に色を付けてください．

「乱数」ワークシートで，A1 セルに

=RAND()

と入力してください．RAND 関数は０から１までの実数をランダムに発生させます．

A1 セルを A2 セルから A100 セルまでコピーしてください． これらのセルすべてに = RAND() という式を入力したことになります． コピーなど，何らかの操作を行うたびに乱数は再計算されて，別の値になります． よって，A1 セルの値は変化します．気にしないでください．

コイン投げのランダムウォークでは， 表および裏の出る確率はいずれも 1/2 であると考えられます． そこで，乱数の値が 0.5 以下なら表，0.5より大きければ裏ということにします． B1 セルに，

=IF(A1<=0.5,1,0)

と入力して，[Enter] キーを押してください．表を１，裏を０で表します．

B1 セルを B2 セルから B100 セルまでコピーしてください． これで，コインを100回投げたとみなすことのできる系列ができました．

「乱数」ワークシートで生成した１（表）と０（裏）の系列を， 「RW（乱数）」ワークシートの B1 セルから CW1 セルにコピーします． 方法が少しややこしいです．

「乱数」ワークシートの B1 セルから B100 セル（100個の1と0）をコピーします．

「RW（乱数）」ワークシートで，B1 セル（A1 セルではありません）を選択します．

[ホーム] タブの「貼り付け」の下にある矢印をクリックし， 「形式を選択して貼り付け」を選んでください．

貼り付けは [値] とします． [行列を入れ替える] にチェックを入れてください． [OK] ボタンを押します．

エクセルの乱数から構成したコイン投げの系列がコピーされました． 数字の 1 は表，0 は裏を表します． この系列を用いて，実物のコインを使ったランダムウォークと同じことを行ってください．

ファイル提出：エクセルの乱数を用いたランダムウォーク実験を終えたら， ファイルを保存し，CoursePower から提出してください．

3.3　結果の検討

エクセルの乱数を用いたランダムウォーク実験の結果を検討します． この実験の直前に行った予想との比較を行います．

1. 100試行のランダムウォークの軌跡は，予想とあっていましたか？ もちろん，ぴったり一致するはずはありませんが， 予想で描いた曲線と，実際の曲線で，以下の点について一致が見られるかどうか検討してください．
   • 軌跡が20行目（±0 の地点）を横切った回数を， 予想と実際で比較してください． この回数はそれぞれ数えてください． 第20行に到達した回数ではなく，横切った回数であることに注意してください．
   • 軌跡が ±0 の地点を横切ったタイミングや，グラフの周期性について， 予想と実際を比較してみましょう．
2. 表（あるいは裏）の出る割合は，予想とあっていましたか？ これはCW列での最終的な位置からわかります． たとえば，最終的な位置が +4（行を挿入していなければ第16行）だったすると， これは表の方が裏より４回多く出たということを意味します． 表と裏をあわせて100回ですから，表が52回，裏が48回となります． よって，表裏の比率は 52:48 となります．
3. プラス側にいた時間（あるいは，マイナス側にいた時間）の割合は， 予想とあっていましたか？ これはCX列で計算した行方向の合計からわかります．

ノート課題４： コイン投げのランダムウォーク実験からわかったこと，気がついたこと，疑問に思ったことをまとめましょう． 疑問に思ったことについて，何かわかったことや気がついたことはありませんか？ 「こうだ」と思っていたけど，実は違うかもしれないことはありませんか？ CoursePower で「ノート課題４」を行ってください． 必ずこれを行ってから次に進むこと．

4.1　結果の予想

これまで手で行っていたことをプログラムで行うということ以外は， 実物のコインおよびエクセルの乱数を用いて行ったのと同じランダムウォークの実験を行います． ここでも実験の前に結果の予想をしましょう．これがノート課題５になります． これまで２度の実験を経験しているので，これまでとは異なった予想になる人が多いと思います． （まったく同じ予想ではいけないということはありません．）

ノート課題５：実験を始める前に，必ずこの課題を行ってください．

1. 100試行のランダムウォークの軌跡はどのようになるでしょうか？
   • ノートの１ページで，線分を横方向に引きます．あるいは， ノート用 Word ファイル （randomwalk_note.docx）をダウンロードして印刷し． 「ノート課題（５）」というページを開いてください．線分が引いてあります． この線分がエクセルの20行目に引いた黄色い直線だと考えてください．
   • 数字の１が並んでゆく軌跡を曲線で描いてください．
   • 曲線は直線の左端上から始まります． ランダムウォークの終わりには，曲線の終端が直線上にあるとは限りません．
   • この予想に「正解」はありません．予測とぴったり一致した結果にはなりません． どのような軌跡を描くか，典型的なイメージを表現してください．
2. 表（あるいは裏）の出る割合は，どれぐらいになるでしょうか？ CoursePower で回答してください． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）． 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします．
3. プラス側にいた時間（あるいは，マイナス側にいた時間）の割合は， どれくらいになるでしょうか？ エクセルの20行目より上側（あるいは，下側）に， どれだけの数の「1」が並ぶかを考えます． この予想に「正解」はありません（たまたま当たるかもしれませんが）， 典型的にはこれぐらいの割合になるだろうという予測をします． CoursePower で回答してください．

4.2　ランダムウォークの実行（エクセルVBA）

エクセル VBA で書いたランダムウォークのプログラムが含まれる エクセルファイル（rw.xlsm）をダウンロードしてください． CoursePower でも公開しています（資料：VBAを用いたランダムウォーク）．

ファイルを開くとおそらくセキュリティの警告が出ます．[編集を有効にする] [コンテンツの有効化] をクリックしてください．．

[スタート] ボタン（２か所にあります）を押すと， 100試行の１次元ランダムウォークが始まります． 軌跡は自動的に描かれ，表と裏の回数が集計されます．

シミュレーションは何回も繰り返してください． そうすると，どういう結果がどれぐらいの頻度で生じるのかわかります．

ノート課題６： コイン投げのランダムウォーク実験からわかったこと，気がついたこと，疑問に思ったことをまとめましょう． 疑問に思ったことについて，何かわかったことや気がついたことはありませんか？ 「こうだ」と思っていたけど，実は違うかもしれないことはありませんか？ CoursePower で「ノート課題６」を行ってください．

ノート課題６の最後に，提出物をデータとして使用することへの同意をたずねる質問が３つあります． ノートとエクセルファイルは， 「ランダム性についての人間の理解と学習」に関する心理学研究に使用させてもらう可能性があります． データは統計的に処理しますので，個人を特定できる情報が明らかにされることは決してありません． ノートの記述内容がどのように研究に使用されるかの具体例として， 2014年度の１年生が作成したノートを用いた 研究論文（本仲・太田・寺尾，2015）を公開します．

これで実習は終わりです．余力のある人は次の解説を読んでください．

5.1　歩いている領域の偏り

ランダムウォークの実験を繰り返し行いました． 実験を通して，表と裏の回数はほぼ半々なのに， 軌跡はプラスあるいはマイナス領域のいずれかに偏っていることが多いということに気づいた人は多いと思います． これはランダムウォークの顕著な性質のひとつです． バスケットボールのように，たくさん得点が入るスポーツで， 実力の変わらない２チーム（競技によっては２人）が対戦することを考えてください． 試合が終わったとき，得点差はわずかでも， 一方のチームがリードしていた時間がずっと長くなりがちです．

下のグラフは，ランダムウォークでプラスの領域を歩いている時間の割合について， その生じやすさを表したものです． 縦軸は確率密度ですが，これは確率のようなものだと思ってください． 横軸での 0.5 という割合は， プラスの領域とマイナスの領域に同じだけの時間いたことを意味します． この近辺はグラフの高さが低いので，こうした結果はあまり生じないことがわかります． 時間の割合が 0 および 1 に近いところではグラフの高さが高くなっていて， 歩く領域が大きく偏ることは高い確率で起こることがわかります．

図中の数式はグラフの式です．社会情報学部では多くの数学科目が用意されています． 熱心に学習すれば，これぐらいの数式は扱えるようになります．

5.2　表と裏の交代

おそらく多くの人にとって，表あるいは裏が思ったより連続したのではないでしょうか． ひとつ前の試行と結果が異なる（たとえば，表の次に裏が出る）確率は 0.5 です， 交代確率が 0.5 だとランダムな系列に見えず， 交代確率が 0.7 ぐらいの系列がランダムに見えるようです． ランダムな系列がランダムに見えないのは，人の認識の弱点でしょう．

株価や，ドルやユーロの為替チャートは，ランダムに変動するのでしょうか？ （参考： 三井住友銀行為替チャート） これらの価値はコインを投げて決めているわけではありませんが， 動きとしてはランダムだと考えられています． チャートを見て，ランダムに見えるでしょうか？