『統計学演習』第４章：２項分布とポアソン分布

この章について

２項分布とポアソン分布の他に，離散型一様分布と幾何分布を扱った例題が１問ずつ収録されています。これらの分布（２項分布，ポアソン分布，一様分布，幾何分布）は，すべて統計検定２級の出題範囲に含まれています。どの分布でも，確率分布を与える式（確率質量関数） $P \{X = x\}$ は覚えておく必要があります。ポアソン分布の式の覚え方は例題７へのコメントで説明します。２項分布とポアソン分布については，平均と分散も覚えてください。これらは覚えやすいですし，忘れても導出は難しくありません。離散型一様分布と幾何分布については，過去問を見る限り，平均と分散の公式を覚える必要はありません。離散型一様分布の平均と分散は簡単に計算できます（例題12参照）。章末問題4.2 および 4.8 で使われている，２項分布のモード（最頻値）を求める公式は，統計検定２級対策としては覚える必要はありません。

例題

例題１: ２項分布（binomial distribution）の確率分布を与える 確率質量関数（probability mass function）

$P (X = x) = {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$

を使って確率を計算します。試行数 $n$ は 8 です。; 紙と鉛筆での計算は少し大変なので，電卓か，計算のできるソフトウェア（エクセルなど）を使います。; 第１刷では (b) と (c) の解答に誤植がありました。 (b) の解答が 0.382 になっている場合は 0.503 に， (c) の解答が 0.324 になっている場合は 0.203 に修正してください。最近の版では修正されています。; 設問 (b) での「高々１個」とは「多くても１個」という意味です。つまり，０個あるいは１個です。; 設問 (c) は３個以上の不良品が含まれる確率ですから，不良品が０個から２個の確率を求めておいて，それを１から引きます。
例題２: 問題の前半部では，試行数 $n$ を未知数としたまま，２項分布の確率質量関数を用いて $P (X = 3)$ と $P (X = 4)$ を表します。あとは問題に与えられた関係式から $n$ だけが未知数の１次方程式ができますから，これを解きます。; 問題の後半では２項分布の平均と分散を求めます。公式を使うだけです。この公式を導くことはできるようにしておくべきですが，式の形が簡単ですから，統計検定２級対策としては公式を記憶してすぐに使えるようにください。
例題３: 第１刷では２項分布 $B (3, p)$ の分散の計算式１行目に誤植がありました（最近の版では修正されています）。右辺の第２項が $1^{2} \times 3 p q$ となっている場合は $1^{2} \times 3 p q^{2}$ に修正してください。; この分散の計算では， $q + 4 p$ を $q + p + 3 p$ とする式変形がありますし，因数分解してから再び展開しているので，少し技巧的です。次のように計算した方がもう少しわかりやすいかもしれません。

$V (X) = 0^{2} \times q^{3} + 1^{2} \times 3 p q^{2} + 2^{2} \times 3 p^{2} q + 3^{2} \times p^{3} - {(3 p)}^{2} = 3 p q^{2} + 12 p^{2} q + 9 p^{3} - 9 p^{2} = 3 p (q^{2} + 4 p q + 3 p^{2} - 3 p) = 3 p (q^{2} + p q + 3 p^{3} + 3 p q - 3 p) = 3 p {q^{2} + p q + 3 p (p + q - 1)} = 3 p {q (q + p)} = 3 p q$
例題４: 月間収入の分散に「万円」という単位がついているのは誤りです（第36刷で確認）。分散の計算では平均からの偏差の２乗が使われているので，単位はもとの測定値と異なります。単位を書くなら「万円の２乗」ですが，何も書かないことが適切でしょう。; 月間収入の平均と分散の計算では，10万円を10，5000円を0.5と表しています。得られる金額の単位を「万円」としているのですね。単位を「円」として分散を計算すると， 10万円は100,000円，5000円は5,000円ですから， $V (Y) = V (5,000 X + 100,000) = 400,000,000$ となります。単位は「円の２乗」です。とても大きい数値ですが，標準偏差を計算すれば20,000円となります。標準偏差の単位はもとの値と同じです。
例題５: 対数の計算が必要です。エクセルの LOG10 関数を使用して LOG10(0.05)/LOG10(0.90) を計算すると，28.43316 という値が返されます。この計算での対数の底は10です。自然対数（対数の底は $e$ ）を使うなら LN(0.05)/LN(0.90) とします。 R を使うなら， log10(0.05) / log10(0.90) あるいは log(0.05) / log(0.90) とします。
例題７: 第１刷ではりんごの個数に誤植がありました。りんごの個数が200個になっている場合は250個に修正してください。最近の版では修正されています。; この問題では２項分布のパラメータ $n = 250$ と $p = 0.008$ が与えられていますので，最初に２項分布を考え，それをポアソン分布で近似します。ポアソン分布を使って確率を計算するとき， $ⅇ^{- 2}$ を数値で求める必要があります。これにはエクセルの EXP 関数を使用するとよいでしょう。エクセルの EXP 関数を用いて 1 - 5 * EXP(-2) を計算すると，0.323324 という値が返されます。 R を使うなら， 1 - 5 * exp(-2) とします。; 統計検定２級対策として，ポアソン分布の確率を与える式（確率質量関数） $P \{X = x\} = \frac{λ^{x} ⅇ^{- λ}}{x!}$ は覚えておく必要があります。覚え方のひとつは，２項分布をポアソン分布で近似するときの，近似式を導くプロセス（ $n p = λ$ を一定にしたまま， $n$ を無限大に， $p$ を 0 に近づけます。）を再現できるようにしておくことです。この導出は統計学のテキストを見てください。もうひとつの覚え方は，指数関数のテイラー展開 $ⅇ^{λ} = 1 + \frac{λ^{1}}{1!} + \frac{λ^{2}}{2!} + \frac{λ^{3}}{3!} + \dots$ を利用するものです。この式の両辺に $ⅇ^{- λ}$ をかけると， $ⅇ^{λ} ⅇ^{- λ} = ⅇ^{- λ} + \frac{λ^{1} ⅇ^{- λ}}{1!} + \frac{λ^{2} ⅇ^{- λ}}{2!} + \frac{λ^{3} ⅇ^{- λ}}{3!} + \dots$ という等式が得られます。この式の右辺は， $P \{X = 0\} + P \{X = 1\} + P \{X = 2\} + P \{X = 3\} + \dots$ という形になっています。この事実を覚えておけば，正の整数 $x$ について， $P \{X = x\} = \frac{λ^{x} ⅇ^{- λ}}{x!}$ であることがわかります。指数関数のテイラー展開は高校数学範囲ではありませんから，こんな覚え方は無理と思うかもしれません。しかし，テイラー展開の理論は難しいですが，展開の方法を覚えることはそれほど難しくありません。ここではこれ以上説明しませんので，数学の先生に教えてもらってください（サブゼミでは教えます）。
例題８: これは良問だと思います。計算がすっきりしていて，気持ちよく解けます。指数関数の計算では，例題７と同様に，エクセルか R を利用してください。; ポアソン分布の平均と分散はいずれも分布のパラメータ $λ$ に等しくなります。統計検定２級対策として，このことは必ず覚えておいてください。もし忘れても，２項分布の平均と分散を覚えていればすぐわかります。２項分布の平均は $n p$ でした。ポアソン分布では，これはパラメータ $λ$ です。２項分布の分散は $n p (1 - p)$ でした。ここで $n p$ はポアソン分布のパラメータ $λ$ です。成功確率 $p$ は 0 に近づけますので， $1 - p$ は 1 とみなすことができます。よって，ポアソン分布の分散は $λ$ となります。; 例題７では２項分布をポアソン分布で近似しましたが，例題８では２項分布は出てきません。２項分布のパラメータ（試行数 $n$ と成功確率 $p$ ）が与えられていないことに注意してください。ある観察期間においてあまり何度も生起しない事象で，平均的な生起回数がわかっている場合には，この問題のようにポアソン分布を利用することができます。
例題10: 小問 (a) では $ⅇ^{- 2.5}$ を求める必要があります。エクセルか R を利用してください。; 小問 (b) では，ポアソン分布でなく，２項分布を使います。必要な試行数 $n$ を求めるからです。ポアソン分布は試行数のパラメータを含みません。対数の計算にはエクセルか R を利用してください。
例題11: 現象へのポアソン分布のあてはめを説明する例題として，良問だと思います。第９章で学習するカイ２乗検定と関連づけられています。一般に理論度数は整数でなくてよいので，問題文に「理論度数は整数で解答せよ」という指示がほしいです。; 解答例では，標本での分散 $s^{2}$ を「２乗の平均 - 平均の２乗」を使って計算していますが，この問題では定義のとおり偏差平方和を計算した方が簡単です。以下のような計算になります。 $s^{2} = \frac{{(0 - 1)}^{2} \times 68 + {(1 - 1)}^{2} \times 81 + \dots + {(4 - 1)}^{2} \times 4}{200} = 0.89$
例題12: 確率変数 $X$ および $Y$ は，離散型一様分布に従います。これら確率変数の平均と分散は，公式を覚えていなくても簡単に計算できます。
例題13: 小問 (b) は意味がわかりにくい。「n 発までに命中する確率」を求めます。; 統計検定２級対策としては，幾何分布の平均と分散の公式を覚える必要はなさそうです。しかし，平均の公式（成功確率の逆数）は直観にあっているので，覚えておくとよいでしょう，これら公式の導出には微分を用います（微分を使わない方法もありますが，複雑になります）。たとえば，以下のテキストの p.69 にある記述を読んでください。サブゼミでは説明します。; 小針晛宏 (1973) 確率・統計入門　岩波書店

４章の問題

4.1: 確率の計算には，電卓か，エクセルなどの表計算ソフトウェアを利用してください。
4.2: ２項分布のモード（最頻値）を求める公式は，統計検定２級対策としては，覚える必要はありません。この公式の導出は章末問題 4.8 で行います。
4.3: 小問 (b) でのテキストの解答は $P \{X = 1\}$ から $P \{X = 4\}$ を加えていますが， $1 - (P \{X = 0\} + P \{X = 5\})$ を計算した方が簡単です。５人とも性別が同じである確率を 1 から引けば，男と女が少なくとも１人は含まれる確率になります。この計算を行うなら，小問 (b) と (c) の順序は逆にする方がよいですね。
4.4: テキストの解答例は $P \{X = 0\}$ ， $P \{X = 1\}$ ， $P \{X = 2\}$ の値を小数で求めていますが。計算誤差を小さくするには，これら３つの確率の和を $\frac{3^{8}}{4^{10}} (3^{2} + 10 \times 3 + 45) = \frac{6561 \times 84}{1048576} = 0.52559 \dots$ と計算する方がよいでしょう。四捨五入の操作はなるべく後回しにして，その回数はできるだけ少なくすることが原則です。
4.5: 対数の計算が必要です。エクセルの LOG10 関数を使用するとよいでしょう。エクセルの LOG10 関数を用いて LOG10(0.05)/LOG10(5/6) を計算すると，16.43104 という値が返されます。 R を使うなら， log10(0.05)/log10(5/6) あるいは log(0.05, 10)/log(5/6), 10) とします。; テキストの解答例では $P \{X \geq 1\} = \sum_{x = 1}^{n} {}_{n}C_{x} {(\frac{1}{6})}^{x} {(\frac{5}{6})}^{n - x} \geq 0.95$ としていますが， $P \{X \geq 1\} = 1 - P \{X = 0\} = 1 - {(\frac{5}{6})}^{n}$ ですから， $P \{X \geq 1\} = 1 - {(\frac{5}{6})}^{n} \geq 0.95$ と書けばよいでしょう。
4.7: 小問 (b) の確率は，テキスト解答例のように小数でなく，分数で $\frac{9}{128}$ と書けばよいでしょう。
4.8: ２項分布のモード（最頻値）を求める公式を導出します。高校数学の範囲で解答可能ですが，やや難しいかもしれません。統計検定２級対策としては，この問題をスキップしてもかまいません。; テキストの解答（p.175）に，些細な誤植があります（第36刷）。解答の８行目，「上左の不等式は，」で始まる行の最後で，「となる。」の前にある ")" は不要です。
4.9: １ページ中の文字数に対して，誤字の数はそれほど多くないので，ポアソン分布を利用します。１ページ中の文字数 $n$ と，１文字あたりでの誤字が生じる確率 $p$ が与えられていれば，１ページあたりでの誤字の数は２項分布に従うと考えられます。しかし，この問題では，これら２項分布のパラメータは与えられていません。本のページ数（600），および，誤字の個数（300）は，いずれも２項分布でのパラメータではありません。そのかわりに， $n p$ に相当する，１ページあたりの平均誤字数がわかります。これがポアソン分布のパラメータ $λ$ となります。; 確率の計算において， $ⅇ^{- 0.5}$ を数値で求める必要があります。これにはエクセルの EXP 関数を使用するとよいでしょう。 EXP(-0.5) は 0.606531 という値を返します。; 小問 (a) で，エクセルの EXP 関数を用いて (0.5)^2 * EXP(-0.5) / 2 を計算すると，0.75816 という値が返されます。 R を使うなら， (0.5)^2 * exp(-0.5) / 2 とします。; 小問 (b) で，エクセルの EXP 関数を用いて 1 - EXP(-0.5) * (1 + 0.5) を計算すると，0.090204 という値が返されます。 R を使うなら， 1 - exp(-0.5) * (1 + 0.5) とします。
4.10: 確率の計算において， $ⅇ^{- 1.8}$ を数値で求める必要があります。これには，エクセルの EXP 関数か，R の exp 関数を使用するとよいでしょう。エクセルで EXP(-1.8) は 0.165299 という値を返します。これは小問 (b) の解答となりますので，小問 (a) と (b) の順序は逆の方が問題配置として自然です。
4.11: 確率の計算において， $ⅇ^{- 1.2}$ を数値で求める必要があります。これには，エクセルの EXP 関数か，R の exp 関数を使用するとよいでしょう。エクセルで EXP(-1.2) は 0.301194 という値を返します。; 小問 (a) で，エクセルの EXP 関数を用いて (1.2)^3 * EXP(-1.2) / 6 を計算すると，0.86744 という値が返されます。 R を使うなら， (1.2)^3 * exp(-1.2) / 6 とします。; 小問 (b) で，エクセルの EXP 関数を用いて EXP(-1.2) * 2.2 を計算すると，0.662627 という値が返されます。 R を使うなら， exp(-1.2) * 2.2 とします。
4.12: 確率の計算において， $ⅇ^{- 2}$ を数値で求める必要があります。これには，エクセルの EXP 関数か，R の exp 関数を使用するとよいでしょう。エクセルで EXP(-2) は 0.135335 という値を返します。; 小問 (b) で，エクセルの EXP 関数を用いて EXP(-2) * (19/3) を計算すると，0.857123 という値が返されます。 R を使うなら， exp(-2) * (19/3) とします。
4.13: テキストでの小問 (b) の解答で， $P (X = 5)$ が抜けています（第27刷）。 $= 1 - ⅇ^{- 3} - 3 ⅇ^{- 3} - \frac{9}{2} ⅇ^{- 3} - \frac{9}{2} ⅇ^{- 3} - \frac{27}{8} ⅇ^{- 3}$ のあとに， $- \frac{81}{40} ⅇ^{- 3}$ が必要です。正しい式は， $= 1 - ⅇ^{- 3} - 3 ⅇ^{- 3} - \frac{9}{2} ⅇ^{- 3} - \frac{9}{2} ⅇ^{- 3} - \frac{27}{8} ⅇ^{- 3} - \frac{81}{40} ⅇ^{- 3}$ です。この式を整理すると， $= 1 - ⅇ^{- 3} \times \frac{92}{5}$ となります。エクセルの EXP 関数を用いて 1 - EXP(-3) * (92/5) を計算すると，0.083918 という値が返されます。
4.14: 確率の計算において， $ⅇ^{- 1.5}$ を数値で求める必要があります。これには，エクセルの EXP 関数か，R の exp 関数を使用するとよいでしょう。エクセルで EXP(-1.5) は 0.22313 という値を返します。; 小問 (a) で，エクセルの EXP 関数を用いて EXP(-1.5) * 2.5 を計算すると，0.557825 という値が返されます。 R を使うなら， exp(-1.5) * 2.5 とします。; 小問 (b) で，エクセルの EXP 関数を用いて 1 - EXP(-1.5) * 4.1875 を計算すると，0.065642 という値が返されます。 R を使うなら， 1 - exp(-1.5) * 4.1875 とします。; 小問 (b) の解答に誤植があります（第27刷）。正しくは $1.125 ⅇ^{- 1.5}$ と書くべきところが（指数の符号はマイナス）， $1.125 ⅇ^{+ 1.5}$ となっています。